Tuesday, June 12, 2012

Sampling Nyquist-Shannon theorem


Teorema Nyquist-Shannon sampling

Dari Wikipedia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Gambar 1: Hipotesis spektrum sinyal bandlimited sebagai fungsi dari frekuensi

Sampling Nyquist-Shannon theorem, setelah Harry Nyquist dan Claude Shannon, merupakan hasil mendasar dalam bidang teori informasi, telekomunikasi tertentu dan pemrosesan sinyal. Sampling adalah proses konversi sinyal (misalnya, fungsi waktu kontinu atau ruang) ke urutan numerik (fungsi waktu diskrit atau ruang). Shannon versi menyatakan teorema: [1]
Jika suatu fungsi x (t) tidak mengandung frekuensi yang lebih tinggi dari hertz B, itu benar-benar ditentukan dengan memberikan koordinat tersebut pada serangkaian titik berjarak 1 / (2B) detik terpisah.
Teorema ini biasa disebut teorema sampling Nyquist, karena juga ditemukan secara independen oleh ET Whittaker, oleh Vladimir Kotelnikov, dan oleh orang lain, juga dikenal sebagai Nyquist-Shannon-Kotelnikov, Whittaker-Shannon-Kotelnikov, Whittaker-Nyquist-Kotelnikov -Shannon, WKS, dll, teorema sampling, serta Kardinal Teorema Interpolasi Teori. Hal ini sering disebut hanya sebagai teorema sampling.
Pada intinya, teorema menunjukkan bahwa sinyal analog bandlimited yang telah sampel bisa sangat direkonstruksi dari urutan tak terbatas sampel jika laju sampling sampel melebihi 2B per detik, dimana B adalah frekuensi tertinggi dalam sinyal asli. Jika sinyal berisi komponen tepat hertz B, maka sampel berjarak pada tepat 1 / (2B) detik tidak sepenuhnya menentukan sinyal, meskipun pernyataan Shannon. Kondisi ini cukup dapat menjadi lemah, seperti dibahas di Sampling sinyal non-baseband di bawah ini.
laporan lebih baru dari teorema kadang-kadang hati-hati untuk mengecualikan kondisi kesetaraan, yaitu kondisi ini jika x (t) tidak mengandung frekuensi lebih besar atau sama dengan B; kondisi ini setara dengan Shannon kecuali jika fungsi mencakup mantap sinusoidal komponen pada frekuensi tepat B.
Teorema ini mengasumsikan idealisasi dari setiap situasi dunia nyata, karena hanya berlaku untuk sinyal yang sampel untuk waktu yang tak terbatas, setiap waktu terbatas x (t) tidak bisa sempurna bandlimited. rekonstruksi Perfect matematis mungkin untuk model ideal tetapi hanya sebuah pendekatan untuk sinyal dunia nyata dan teknik sampling, meskipun dalam prakteknya sering yang sangat baik.
Teorema ini juga mengarah pada rumus untuk rekonstruksi sinyal asli. Bukti konstruktif dari teorema mengarah ke pemahaman tentang aliasing yang dapat terjadi ketika sistem pengambilan sampel tidak memenuhi kondisi teorema.
Teorema sampling menyediakan suatu kondisi yang cukup, namun tidak satu perlu, untuk rekonstruksi sempurna. Bidang dikompresi penginderaan menyediakan kondisi sampling ketat ketika sinyal yang mendasari diketahui jarang. Compressed penginderaan khusus menghasilkan kriteria sampling sub-Nyquist.

Isi
[Hide]

* 1 Pendahuluan

* 2 Proses sampling
* 3 Rekonstruksi
* 4 Praktis pertimbangan
* 5 Aliasing
* 6 Aplikasi untuk sinyal multivariabel dan gambar
* 7 downsampling
* Frekuensi 8 Kritis
* 9 Matematika dasar untuk teorema
* 10 Shannon asli bukti
* 11 Sampling sinyal non-baseband
* 12 seragam sampling
* 13 Beyond Nyquist
* 14 Latar belakang
o 14.1 Lainnya penemu
o Nyquist 14.2 Mengapa?
* 15 Lihat juga
* 16 Catatan
* 17 Referensi
* 18 Pranala luar

[Sunting] Pendahuluan
Sebuah sinyal atau fungsi yang bandlimited jika mengandung energi ada di frekuensi yang lebih tinggi daripada beberapa bandlimit atau bandwidth B. Sebuah sinyal yang bandlimited dibatasi dalam cara cepat berubah dalam waktu, dan karena itu berapa banyak detail yang dapat menyampaikan dalam interval waktu. Teorema sampling menegaskan bahwa sampel diskrit seragam spasi adalah representasi lengkap dari sinyal jika bandwidth ini kurang dari setengah laju sampling. Untuk merumuskan konsep-konsep ini, biarkan x (t) merupakan sinyal waktu kontinyu dan X (f) menjadi transformasi Fourier kontinu sinyal bahwa:
X (f) \ \ stackrel {\ mathrm {def }}{=} \ \ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) \ e ^ {- i 2 \ pi} ft \ dt \
Sinyal x (t) dikatakan bandlimited ke baseband bandwidth satu sisi, B, apabila:
X (f) = 0 \ quad untuk semua | {f} |> B \,
atau, sama, supp (X) [2] \ subseteq [-B, B]. Kemudian kondisi yang cukup untuk reconstructability tepat dari sampel pada tingkat fs seragam sampling (dalam sampel per satuan waktu) adalah:
f_s> 2 B, \,
atau ekuivalen:
B <{f_s \ over 2}. \,
2B disebut laju Nyquist dan merupakan properti dari sinyal bandlimited, sedangkan fs / 2 disebut frekuensi Nyquist dan merupakan properti dari sistem sampling.
Interval waktu antara sampel yang berurutan yang disebut sebagai interval sampling:
T \ \ stackrel {\ mathrm {def }}{=} \ \ frac {1} {f_s}, \,
dan sampel x (t) ditandai oleh:
x [n] = x (nT) \ n quad \ di \ mathbb {Z} \, (integer).
Teorema sampling mengarah ke prosedur untuk merekonstruksi asli x (t) dari sampel dan negara-negara yang cukup kondisi seperti rekonstruksi tepatnya.

[Sunting] Proses sampling

Teorema ini menjelaskan dua proses dalam pengolahan sinyal: proses sampling, di mana sinyal waktu kontinu dikonversi menjadi suatu sinyal waktu diskrit, dan proses rekonstruksi, di mana sinyal kontinyu asli pulih dari sinyal waktu diskrit.
Sinyal kontinyu bervariasi dari waktu ke waktu (atau ruang dalam gambar digital, atau lain variabel bebas dalam beberapa aplikasi lainnya) dan proses pengambilan sampel dilakukan dengan mengukur nilai sinyal kontinyu itu setiap unit T waktu (atau ruang), yang disebut sampling interval. Dalam prakteknya, untuk sinyal yang merupakan fungsi dari waktu, interval sampling biasanya cukup kecil, pada urutan milidetik, mikrodetik, atau kurang. Hal ini menghasilkan urutan angka, contoh disebut, untuk mewakili sinyal asli. Setiap nilai sampel dikaitkan dengan instan dalam waktu ketika diukur. Kebalikan dari sampling interval (1 / T) adalah frekuensi sampling fs dilambangkan, yang diukur dalam sampel per unit waktu. Jika T dinyatakan dalam detik, maka fs dinyatakan dalam Hz.

[Sunting] Rekonstruksi

Rekonstruksi dari sinyal asli adalah proses interpolasi yang matematis mendefinisikan sinyal kontinyu waktu x (t) dari sampel diskrit x [n] dan pada waktu di antara nT instants sampel.

Gbr.2: Fungsi sinc dinormalisasi: dosa (πx) / (πx) … menunjukkan puncak pusat di x = 0, dan nol-crossing pada nilai integer lain x.

* Prosedur: Setiap nilai sampel dikalikan dengan fungsi sinc skala sehingga zero-crossing dari fungsi sinc terjadi di instants sampling dan titik tengah fungsi sinc adalah bergeser ke waktu bahwa sampel, nT. Semua fungsi ini bergeser dan bersisik yang kemudian ditambahkan bersama-sama untuk memulihkan sinyal asli. Fungsi sinc skala dan waktu-bergeser kontinu membuat jumlah hasil ini, juga terus menerus sehingga operasi ini merupakan sinyal kontinyu. Prosedur ini diwakili oleh rumus interpolasi Whittaker-Shannon.
* Kondisi: Sinyal yang diperoleh dari proses rekonstruksi dapat memiliki frekuensi yang lebih tinggi dari satu-setengah frekuensi sampling. Menurut teorema ini, sinyal direkonstruksi akan cocok dengan sinyal asli dengan ketentuan bahwa sinyal asli tidak mengandung frekuensi pada atau di atas batas ini. Kondisi ini disebut kriteria Nyquist, atau kadang-kadang kondisi Raabe.
Jika sinyal asli berisi komponen frekuensi sama dengan satu-satu setengah sampling, kondisi tidak puas. Sinyal direkonstruksi yang dihasilkan mungkin memiliki komponen pada frekuensi itu, tetapi amplitudo dan fasa komponen yang umumnya tidak akan cocok dengan komponen asli.
Rekonstruksi ini atau interpolasi menggunakan fungsi sinc bukan skema interpolasi saja. Memang, tidak mungkin dalam prakteknya karena memerlukan menjumlahkan jumlah tak terbatas istilah. Namun, metode interpolasi yang dalam teori persis merekonstruksi apapun yang diberikan bandlimited x (t) dengan bandlimit B <1 / (2T); metode apapun lainnya yang melakukannya secara formal setara dengan itu.

[Sunting] Pertimbangan praktis

Sebuah beberapa konsekuensi dapat ditarik dari teorema ini:
* Jika B frekuensi tertinggi dalam sinyal asli diketahui, teorema memberi batas bawah pada frekuensi sampling yang sempurna rekonstruksi dapat terjamin. Hal ini lebih rendah terikat pada frekuensi sampling, 2B, disebut laju Nyquist.
* Jika bukan frekuensi sampling diketahui, teorema memberi kita batas atas untuk komponen frekuensi, <B fs / 2, dari sinyal untuk memungkinkan rekonstruksi yang sempurna. Ini batas atas adalah frekuensi Nyquist, dinotasikan FN.
* Kedua kasus ini menyiratkan bahwa sinyal yang akan sampel harus bandlimited, yaitu komponen dari sinyal yang memiliki frekuensi di atas batas tertentu harus nol, atau paling tidak cukup mendekati nol untuk memungkinkan kita untuk mengabaikan pengaruhnya pada rekonstruksi yang dihasilkan. Dalam kasus pertama, kondisi bandlimitation dari sinyal sampel dapat dilakukan dengan mengasumsikan model dari sinyal yang dapat dianalisis dalam komponen frekuensi yang dikandungnya, misalnya, suara yang dibuat oleh manusia berbicara biasanya mengandung sangat komponen frekuensi kecil pada atau di atas 10 kHz dan kemudian cukup untuk sampel seperti sinyal audio dengan frekuensi sampling minimal 20 kHz. Untuk kasus kedua, kita harus memastikan bahwa sinyal sampel adalah bandlimited sedemikian rupa sehingga komponen-komponen frekuensi pada atau di atas setengah dari frekuensi sampling dapat diabaikan. Hal ini biasanya dicapai dengan cara yang cocok low-pass filter, misalnya, jika diinginkan untuk pidato sampel waveforms pada 8 kHz, sinyal pertama harus lowpass disaring untuk di bawah 4 kHz.
* Dalam prakteknya, tak satu pun dari dua pernyataan dari teorema sampling dijelaskan di atas dapat benar-benar puas, dan tidak dapat rumus rekonstruksi secara tepat dilaksanakan. Proses rekonstruksi yang melibatkan skala dan fungsi sinc tertunda dapat digambarkan sebagai ideal. Hal ini tidak bisa diwujudkan dalam praktik karena mengandung arti bahwa setiap sampel kontribusi sinyal direkonstruksi di hampir semua titik waktu, membutuhkan penjumlahan jumlah tak terbatas istilah. Sebaliknya, beberapa jenis pendekatan fungsi sinc, hingga panjang, harus digunakan. Kesalahan yang sesuai dengan pendekatan sinc-fungsi ini disebut sebagai kesalahan interpolasi. Praktis konverter digital-ke-analog tidak menghasilkan skala dan fungsi sinc tertunda atau impuls ideal (yang jika idealnya low-pass filter akan menghasilkan sinyal asli), tetapi urutan pulsa segi empat skala dan tertunda. Output ini sesepenggal-konstan praktis dapat dimodelkan sebagai nol terus-orde filter didorong oleh impuls Dirac urutan skala dan tertunda sebagaimana dimaksud dalam bagian dasar matematika di bawah ini. Sebuah membentuk filter kadang-kadang digunakan setelah DAC dengan terus nol-untuk membuat pendekatan yang lebih baik secara keseluruhan.
* Selain itu, dalam prakteknya, sinyal tidak akan pernah sempurna bandlimited, karena ideal “dinding-bata” filter tidak dapat direalisasikan. Semua filter praktis hanya dapat menipiskan frekuensi di luar jangkauan tertentu, tidak menghapus mereka sepenuhnya. Selain ini, “waktu terbatas” sinyal tidak pernah bisa bandlimited. Ini berarti bahwa bahkan jika sebuah rekonstruksi yang ideal dapat dilakukan, sinyal direkonstruksi tidak akan persis sinyal asli. Kesalahan yang sesuai dengan kegagalan bandlimitation disebut sebagai aliasing.
* Teorema sampling tidak mengatakan apa yang terjadi bila kondisi dan prosedur yang tidak benar-benar dipenuhi, tetapi bukti yang menunjukkan kerangka analitis di mana non-hal idealistis dapat dipelajari. Seorang desainer dari sebuah sistem yang berhubungan dengan proses sampling dan rekonstruksi membutuhkan pemahaman menyeluruh dari sinyal yang akan sampel, dalam konten tertentu yang frekuensi, frekuensi sampling, bagaimana sinyal direkonstruksi dalam hal interpolasi, dan kebutuhan untuk rekonstruksi total kesalahan, termasuk aliasing, sampling, interpolasi dan kesalahan lainnya. Properti ini dan parameter mungkin perlu hati-hati disetel untuk mendapatkan sistem yang berguna.
[Sunting] Aliasing

Artikel utama: Aliasing

Rumus penjumlahan Poisson menunjukkan bahwa sampel, x [n] = x (nT), fungsi x (t) yang cukup untuk membuat penjumlahan periodik fungsi X (f). Hasilnya adalah:
X_s (f) \ \ stackrel {\ mathrm {def }}{=} \ sum_ {k =- \ infty} ^ {\ infty} X \ left (f - kanan f_s k \) = T \ sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} x (nT) \ e ^ {-i 2 \ pi} f T n.
(Eq.1)
Seperti digambarkan dalam Angka 3, 4, dan 8, salinan X (f) dialihkan dengan kelipatan fs dan dikombinasikan dengan penambahan.

Gbr.3: Hipotesis spektrum dari sinyal bandlimited benar sampel (biru) dan gambar (hijau) yang tidak tumpang tindih. Sebuah “bata-dinding” low-pass filter dapat menghapus gambar dan meninggalkan spektrum asli, sehingga memulihkan sinyal asli dari sampel.

Jika kondisi sampling tidak puas, salinan berdekatan tumpang tindih, dan tidak mungkin pada umumnya untuk melihat sebuah X tidak ambigu (f). Setiap komponen frekuensi di atas fs / 2 tidak dapat dibedakan dari komponen frekuensi rendah, yang disebut alias, terkait dengan salah satu salinan. Teknik rekonstruksi diuraikan di bawah ini menghasilkan alias, bukan komponen asli, dalam kasus tersebut.

Gbr.4 Top: spektrum Hipotesis dari sinyal bandlimited kurang sampel (biru), X (f), di mana gambar (hijau) tumpang tindih. Pinggiran ini tumpang tindih atau “ekor” tambahkan gambar, menciptakan spektrum tidak seperti aslinya. Bottom: Hipotesis spektrum sinyal bandlimited cukup sedikit sampel (biru), XA (f), di mana gambar (hijau) nyaris tidak tumpang tindih. Tetapi spektrum sampel keseluruhan XA (f) adalah identik dengan spektrum yang tidak cukup sampel keseluruhan X (f) (atas) karena jumlah baseband dan gambar yang sama pada kedua kasus. Para sampel diskrit sinyal xA [n] dan x [n] juga identik. Hal ini tidak mungkin, hanya dari memeriksa spektrum (atau sinyal sampel), kirim ke dua situasi yang terpisah. Jika ini sinyal audio, xA [n] dan x [n] akan terdengar sama dan dianggap “benar” sampel xA [n] akan menjadi alias dari x [n] sejak spektrum XA (f) menyamar sebagai spektrum X (f).

Untuk komponen sinusoidal yang persis setengah dari frekuensi sampling, komponen akan di alias umum untuk sinusoida lain dari frekuensi yang sama, tapi dengan fase yang berbeda dan amplitudo.
Untuk mencegah atau mengurangi aliasing, dua hal yang dapat dilakukan:
1. Meningkatkan laju sampling, di atas dua kali beberapa atau semua frekuensi yang aliasing.

2. Memperkenalkan anti-aliasing filter atau membuat filter anti-aliasing yang lebih ketat.

Anti-aliasing filter untuk membatasi bandwidth sinyal untuk memenuhi kondisi untuk pengambilan sampel yang tepat. Seperti pembatasan bekerja dalam teori, tetapi tidak tepat satisfiable dalam kenyataannya, karena filter realisasi selalu akan memungkinkan beberapa kebocoran frekuensi tinggi. Namun, kebocoran energi dapat dibuat cukup kecil sehingga efek aliasing diabaikan.

[Sunting] Aplikasi untuk sinyal multivariabel dan gambar
Gbr.5: image Subsampled menunjukkan pola moire
Gbr.6: Lihat gambar ukuran penuh

Teorema sampling biasanya dirumuskan untuk fungsi-fungsi dari variabel tunggal. Akibatnya, teorema secara langsung berlaku untuk sinyal waktu yang tergantung dan biasanya dirumuskan dalam konteks itu. Namun, teorema sampling dapat diperpanjang dengan cara yang mudah untuk fungsi banyak variabel sewenang-wenang. gambar Grayscale, misalnya, sering direpresentasikan sebagai array dua dimensi (atau matriks) dari bilangan real mewakili intensitas relatif dari piksel (elemen gambar) yang terletak di persimpangan lokasi sampel baris dan kolom. Akibatnya, gambar memerlukan dua variabel independen, atau indeks, untuk menentukan setiap pixel unik - satu untuk baris, dan satu untuk kolom.
Warna gambar biasanya terdiri dari gabungan dari tiga gambar grayscale terpisah, satu untuk mewakili masing-masing dari tiga warna utama - merah, hijau, dan biru, atau RGB untuk pendek. colorspaces lain menggunakan 3-vektor untuk warna termasuk HSV, LAB, XYZ, dll Beberapa colorspaces seperti cyan, magenta, kuning, dan hitam (CMYK) dapat mewakili warna dengan empat dimensi. Semua ini diperlakukan sebagai vektor-fungsi bernilai lebih dari satu domain sampel dua dimensi.
Mirip dengan sinyal diskrit-waktu satu dimensi, gambar juga bisa menderita aliasing jika resolusi sampling, atau kepadatan pixel, tidak memadai. Sebagai contoh, foto digital kemeja bergaris-garis dengan frekuensi tinggi (dengan kata lain, jarak antara garis-garis kecil), dapat menyebabkan aliasing dari kemeja ketika sampel dengan sensor gambar kamera. aliasing muncul sebagai sebuah pola moiré. The “solusi” untuk sampling yang lebih tinggi dalam domain spasial untuk kasus ini akan bergerak lebih dekat ke kemeja, gunakan sensor resolusi yang lebih tinggi, atau untuk optik mengaburkan gambar sebelum mengambilnya dengan sensor.
Contoh lain adalah ditunjukkan ke kiri dalam pola bata. Gambar atas menunjukkan efek ketika kondisi teorema sampling adalah tidak puas. Ketika software rescales gambar (proses yang sama yang menciptakan thumbnail ditampilkan pada gambar bawah) itu, pada dasarnya, berjalan gambar melalui low-pass downsamples pertama dan kemudian menyaring gambar untuk menghasilkan gambar yang lebih kecil yang tidak pameran moiré pola. Gambar atas adalah apa yang terjadi bila gambar downsampled tanpa low-pass filter: hasil aliasing.
Penerapan teorema sampling untuk gambar harus dilakukan dengan hati-hati. Sebagai contoh, proses sampling dalam sensor gambar standar (CCD atau kamera CMOS) relatif jauh dari sampling yang ideal yang akan mengukur intensitas citra pada satu titik. Sebaliknya perangkat ini memiliki area sensor relatif besar di setiap titik sampel untuk mendapatkan jumlah yang cukup cahaya. Dengan kata lain, setiap detektor memiliki fungsi-lebar hingga titik menyebar. Gambar analog fungsi intensitas optik yang sampel oleh perangkat sensor tidak bandlimited umum, dan pengambilan sampel non-ideal itu sendiri merupakan jenis yang berguna low-pass filter, meskipun tidak selalu cukup untuk menghapus frekuensi yang cukup tinggi untuk cukup mengurangi aliasing. Ketika daerah tempat pengambilan sampel (ukuran sensor pixel) tidak cukup besar untuk menyediakan cukup anti-aliasing, terpisah anti-aliasing filter (optical low-pass filter) biasanya disertakan pada sebuah sistem kamera untuk lebih mengaburkan optik gambar. Meskipun gambar yang memiliki masalah ini sehubungan dengan teorema sampling, teorema dapat digunakan untuk menjelaskan dasar-dasar bawah dan atas sampling gambar.

[Sunting] downsampling

Ketika sebuah sinyal downsampled, teorema sampling bisa dipanggil melalui kecerdasan dari resampling rekonstruksi kontinu-waktu hipotetis. Kriteria Nyquist masih harus puas berkenaan dengan frekuensi sampling baru yang lebih rendah untuk menghindari aliasing. Untuk memenuhi persyaratan teorema ini, sinyal biasanya harus melewati sebuah low-pass filter frekuensi cutoff yang tepat sebagai bagian dari operasi downsampling. Ini low-pass filter, yang mencegah aliasing, disebut anti-aliasing filter.

[Sunting] frekuensi Kritis
Gbr.7: Sebuah keluarga sinusoid pada frekuensi kritis, semua memiliki urutan sampel yang sama dari bolak +1 dan -1. Artinya, mereka semua alias satu sama lain, meskipun frekuensi mereka tidak di atas setengah kecepatan sampel.

Untuk menggambarkan pentingnya 2B fs>, mempertimbangkan sinusoid:
x (t) = \ cos (2 \ pi t B + \ theta) \ = \ \ cos (2 \ pi t B) \ cos (\ theta) - \ sin (2 \ pi t B) \ sin (\ theta ).
Dengan fs = 2B atau ekuivalen T = 1 / (2B), sampel diberikan oleh:
\ Begin {align} x (nT) & = \ cos (\ n pi) \ cos (\ theta) - \ underbrace {\ sin (\ n pi)} _ {0} \ sin (\ theta) = \ cos ( \ pi n) \ cos (\ theta). \ End {align}
Mereka sampel tidak dapat dibedakan dari sampel:
x_A (t) = \ cos (2 \ pi t B) \ cos (\ theta). \,
Tapi untuk θ apa pun seperti yang dosa (θ) ≠ 0, x (t) dan xA (t) memiliki amplitudo yang berbeda dan fase yang berbeda. Ini dan lainnya ambiguitas adalah alasan ketidaksetaraan ketat kondisi teorema sampling itu.

[Sunting] Matematika dasar untuk teorema
Gbr.8: Spektrum, Xs (f), dari sinyal bandlimited benar sampel (biru) dan gambar (hijau) yang tidak tumpang tindih. Sebuah “bata-dinding” low-pass filter, H (f), menghapus gambar, daun spektrum asli, X (f), dan sembuh sinyal asli dari sampel.

Dari Gambar 3 dan 8, jelas bahwa ketika tidak ada tumpang tindih dari salinan (alias “gambar”) X (f), k = 0 jangka waktu Xs (f) dapat dipulihkan dengan produk:
X (f) = H (f) X_s \ cdots (f), \, dimana:
H (f) = \ begin {kasus} 1 & | f | <B \ \ 0 & | f |> f_s - B. \ end {kasus}
H (f) tidak perlu didefinisikan secara tegas di daerah [B, fs-B], karena Xs (f) adalah nol di wilayah itu. Namun, kasus terburuk adalah ketika B = fs / 2, frekuensi Nyquist. Sebuah fungsi yang cukup untuk itu dan semua kasus berat kurang adalah:
H (f) = \ mathrm {rect} \ left (\ frac {f} {f_s} \ right) = \ begin {kasus} 1 & | f | <\ frac {f_s} {2} \ \ 0 & | f |> \ frac {f_s} {2}, \ end {kasus}
mana \ mathrm {rect} (u) \ adalah fungsi persegi panjang.
Oleh karena itu:
X (f) = \ mathrm {rect} \ left (\ frac {f} {f_s} \ right) \ X_s cdots (f) \
= \ Mathrm {rect} (Tf) \ cdots T \ sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} x (nT) \ e ^ {-i 2 \ pi T n f} (dari Eq.1, di atas ).

= T \ sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} x (nT) \ cdots \ mathrm {rect} (Tf) \ ^ e cdots {-i 2 \ pi} f T n.

Fungsi asli yang sampel dapat dipulihkan oleh transformasi Fourier balik:
x (t) = \ mathcal {F} ^ {-1} \ left \ {T \ sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} x (nT) \ cdots \ mathrm {rect} (Tf) \ cdots e ^ {-i 2 \ pi T n f} \ right \}
= T \ sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} x (nT) \ cdots \ underbrace {\ mathcal {F} ^ {-1} \ left \ {\ mathrm {rect} (Tf) \ cdots e -i ^ {2 \ pi T n f} \ right \}} _ {\ frac {1} {T} \ cdots \ mathrm {sinc} \ left (\ frac {t - nT} {T} \ right)} [3]

= \ Sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} x (nT) \ cdots \ mathrm {sinc} \ left (\ frac {t - nT} {T} \ right),

yang merupakan rumus interpolasi Whittaker-Shannon. Ini menunjukkan secara eksplisit bagaimana sampel, x (nT), dapat dikombinasikan untuk merekonstruksi x (t).
* Dari Gambar 8, jelas bahwa nilai-nilai yang lebih besar dari yang diperlukan fs (nilai yang lebih kecil T), yang disebut oversampling, tidak berpengaruh pada hasil rekonstruksi dan mendapatkan manfaat dari meninggalkan ruang untuk sebuah band transisi di mana H (f) bebas untuk mengambil nilai antara. Undersampling, yang menyebabkan aliasing, tidak secara umum operasi reversibel.

* Secara teoritis, formula interpolasi dapat diimplementasikan sebagai low pass filter, yang impuls respon \ mathrm {sinc} \ left (\ frac {t} {T} \ kanan) dan yang input \ sum_ {n =- \ infty } ^ {\ infty} x (nT) \ cdots \ delta (t - nT), yang merupakan sisir Dirac fungsi dimodulasi oleh sinyal sampel. Praktis konverter digital-ke-analog (DAC) menerapkan pendekatan seperti memegang orde nol. Dalam hal ini, oversampling dapat mengurangi kesalahan pendekatan.

[Sunting] bukti asli Shannon
Tanda bukti yang disajikan oleh Shannon yang elegan dan cukup singkat, namun kurang intuitif menawarkan wawasan ke dalam seluk-beluk aliasing, baik disengaja dan disengaja. Mengutip kertas asli Shannon, yang menggunakan f untuk fungsi, F untuk spektrum, dan W untuk membatasi bandwidth:
Pada bagian kiri adalah nilai dari f (t) pada titik-titik sampling. Integral di sebelah kanan akan diakui sebagai dasarnya koefisien n dalam ekspansi Fourier-series dari fungsi F (ω), mengambil-W interval untuk W sebagai periode mendasar. Ini berarti bahwa nilai-nilai sampel f (n / 2W) menentukan koefisien Fourier dalam ekspansi seri F (ω). Jadi mereka menentukan F (ω), karena F (ω) adalah nol untuk frekuensi lebih besar dari W, dan F frekuensi yang lebih rendah (ω) ditetapkan jika nya Fourier koefisien ditentukan. Tapi F (ω) menentukan fungsi semula f (t) sepenuhnya, karena fungsi ditentukan jika spektrum adalah diketahui. Oleh karena sampel asli menentukan fungsi f (t) sepenuhnya.
bukti dari teorema Shannon selesai pada titik itu, tapi dia melanjutkan dengan membahas rekonstruksi melalui fungsi sinc, apa yang sekarang kita sebut rumus interpolasi Whittaker-Shannon seperti dibahas di atas. Dia tidak berasal atau membuktikan sifat-sifat fungsi sinc, tetapi ini tentu sudah tidak asing untuk insinyur membaca karya-karyanya pada waktu itu, karena pasangan Fourier hubungan antara rect (fungsi persegi panjang) dan sinc dikenal. Penawaran Shannon:
Biarkan xn menjadi sampel n. Kemudian fungsi f (t) diwakili oleh:
f (t) = \ sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} x_n {\ sin \ pi (2Wt-n) \ over \ pi (2Wt-n)}.
Seperti dalam bukti lain, keberadaan Transformasi Fourier dari sinyal asli diasumsikan, sehingga bukti tidak mengatakan apakah teorema sampling meluas ke bandlimited proses acak stasioner.

[Sunting] Sampling sinyal non-baseband

Seperti dijelaskan oleh Shannon: [1]
Sebuah hasil yang serupa benar jika band ini tidak dimulai dari nol frekuensi tetapi pada beberapa nilai yang lebih tinggi, dan dapat dibuktikan dengan terjemahan linier (sesuai secara fisik untuk modulasi single-sideband) dari kasus-frekuensi nol. Dalam hal ini pulsa dasar diperoleh dari dosa (x) / x oleh modulasi single-side-band.
Artinya, kondisi-rugi tidak cukup untuk sampling sinyal yang tidak memiliki komponen baseband ada yang melibatkan lebar interval frekuensi-nol bukan sebagai lawan komponen frekuensi tertinggi. Lihat Sampling (pengolahan sinyal) untuk rincian lebih lanjut dan contoh.
Sebuah kondisi bandpass adalah bahwa X (f) = 0, untuk nonnegatif semua f luar pita frekuensi terbuka:
\ Left (\ frac {N} 2f_ \ mathrm {s}, \ frac {N +1} 2f_ \ mathrm {s} \ right),
untuk beberapa bilangan bulat tak negatif N. Formulasi ini mencakup kondisi baseband normal sebagai kasus N = 0.
Fungsi interpolasi terkait respon impuls dari bandpass bata-dinding ideal filter (sebagai lawan dari lowpass bata-dinding ideal filter yang digunakan di atas) dengan celana pendek di tepi atas dan bawah dari band tertentu, yang merupakan perbedaan antara sepasang tanggapan impuls lowpass:
(N +1) \, \ operatorname {sinc} \ left (\ frac {(N +1) t} T \ right) - N \, \ operatorname {sinc} \ left (\ frac {Nt} T \ right) .
generalisasi lain, misalnya untuk sinyal menempati band non-contiguous beberapa, yang mungkin juga. Bahkan bentuk paling umum dari teorema sampling tidak memiliki provably berbicara benar. Artinya, orang tidak dapat menyimpulkan informasi yang harus hilang hanya karena kondisi teorema sampling tidak puas, dari segi teknis, bagaimanapun, umumnya aman untuk mengasumsikan bahwa jika teorema sampling tidak puas maka informasi kemungkinan besar akan hilang.

[Sunting] sampling seragam

Teori sampling Shannon dapat digeneralisasi untuk kasus sampel seragam, yaitu, sampel tidak diambil sama spasi pada waktunya. Shannon teori sampling bagi negara-negara sampling non-seragam yang sinyal-band terbatas dapat sempurna direkonstruksi dari sampel apabila laju sampling rata-rata memenuhi kondisi Nyquist [4]. Oleh karena itu, meskipun jarak seragam sampel dapat mengakibatkan algoritma rekonstruksi lebih mudah, itu bukan kondisi yang diperlukan untuk rekonstruksi sempurna.

[Sunting] Beyond Nyquist

Teorema sampling Nyquist-Shannon memberikan suatu kondisi yang cukup untuk pengambilan sampel dan rekonstruksi sinyal-band terbatas. Ketika rekonstruksi dilakukan melalui rumus interpolasi Whittaker-Shannon, kriteria Nyquist juga merupakan kondisi yang perlu untuk menghindari aliasing, dalam arti bahwa jika sampel yang diambil pada tingkat lebih lambat dari dua kali batas band, maka ada beberapa sinyal yang tidak akan secara benar direkonstruksi. Namun, jika pembatasan lebih lanjut dikenakan pada sinyal, maka kriteria Nyquist mungkin tidak lagi menjadi syarat mutlak.
Sebuah contoh non-trivial dari mengeksploitasi asumsi tambahan tentang sinyal yang diberikan oleh bidang baru-baru ini dikompresi penginderaan, yang memungkinkan untuk rekonstruksi penuh dengan tingkat sampling sub-Nyquist. Secara khusus, ini berlaku untuk sinyal yang jarang (atau kompresibel) dalam domain tertentu. Sebagai contoh, dikompresi penginderaan berhubungan dengan sinyal yang mungkin memiliki lebih rendah semua bandwidth (katakanlah, bandwidth efektif EB), namun komponen frekuensi tersebar di bandwidth B keseluruhan, daripada semua bersama-sama dalam sebuah band tunggal, sehingga bahwa teknik passband tidak berlaku. Dengan kata lain, spektrum frekuensi jarang. Secara tradisional, tingkat sampling yang diperlukan demikian B / 2. Menggunakan teknik penginderaan dikompresi, sinyal bisa sempurna direkonstruksi jika sampel pada tingkat yang sedikit lebih besar daripada EB / 2. Kelemahan dari pendekatan ini adalah rekonstruksi yang tidak lagi diberikan oleh formula, melainkan oleh solusi untuk program optimalisasi cembung yang membutuhkan metode baik belajar tetapi nonlinier.

[Sunting] Sejarah latar belakang

Teorema sampling tersirat oleh karya Harry Nyquist pada 1928 (”topik tertentu dalam teori telegram transmisi”), di mana ia menunjukkan bahwa hingga 2B sampel pulsa independen dapat dikirim melalui sistem bandwidth B, tetapi ia tidak secara eksplisit mempertimbangkan masalah sampling dan rekonstruksi sinyal kontinu. Tentang waktu yang sama, Karl Küpfmüller menunjukkan hasil yang serupa, [5] dan membahas respon sinc-fungsi impulse dari sebuah band-membatasi filter, melalui integral nya, respon Integralsinus langkah; bandlimiting ini dan rekonstruksi filter yang sangat penting bagi teorema sampling kadang-kadang disebut sebagai Küpfmüller filter (tapi jarang sehingga dalam bahasa Inggris).
Teorema sampling, pada dasarnya dual hasil Nyquist, adalah terbukti oleh Claude E. Shannon pada tahun 1949 (”Komunikasi di hadapan kebisingan”). Kotelnikov VA diterbitkan hasil yang sama pada tahun 1933 (”Di kapasitas transmisi dari ‘eter’ dan kabel dalam komunikasi listrik”, terjemahan dari Rusia), seperti yang dilakukan matematikawan ET Whittaker pada tahun 1915 (”Ekspansi dari Interpolasi-Teori”, “Theorie der Kardinalfunktionen”), JM Whittaker pada tahun 1935 (”Interpolatory fungsi teori”), dan Gabor pada tahun 1946 (”Teori komunikasi”).

[Sunting] penemu Lain

Orang lain yang secara independen menemukan atau memainkan peran dalam pengembangan teorema sampling telah dibahas dalam artikel beberapa sejarah, misalnya dengan Jerri [6] dan oleh Lukas [7] Sebagai contoh,. Poin Lukas bahwa H. Raabe, asisten untuk Küpfmüller, membuktikan teorema pada tahun 1939 gelar Ph.D. disertasi, kondisi Raabe istilah datang untuk dihubungkan dengan kriteria untuk representasi ambigu (sampling rate lebih besar dari dua kali bandwidth).
Meijering [8] menyebutkan beberapa penemu dan nama-nama dalam paragraf dan sepasang catatan kaki:
Seperti yang ditunjukkan oleh Higgins [135], teorema sampling harus benar-benar dipertimbangkan dalam dua bagian, seperti yang dilakukan di atas: pertama menyatakan fakta bahwa fungsi bandlimited sepenuhnya ditentukan oleh sampel tersebut, yang kedua menjelaskan bagaimana untuk merekonstruksi fungsi menggunakan nya sampel.
sumber ; wikipedia(shannon sampling theorem)

Teorema Nyquist-Shannon sampling

Dari Wikipedia, ensiklopedia bebas
Langsung ke: navigasi, cari
Gambar 1: Hipotesis spektrum sinyal bandlimited sebagai fungsi dari frekuensi

Sampling Nyquist-Shannon theorem, setelah Harry Nyquist dan Claude Shannon, merupakan hasil mendasar dalam bidang teori informasi, telekomunikasi tertentu dan pemrosesan sinyal. Sampling adalah proses konversi sinyal (misalnya, fungsi waktu kontinu atau ruang) ke urutan numerik (fungsi waktu diskrit atau ruang). Shannon versi menyatakan teorema: [1]
Jika suatu fungsi x (t) tidak mengandung frekuensi yang lebih tinggi dari hertz B, itu benar-benar ditentukan dengan memberikan koordinat tersebut pada serangkaian titik berjarak 1 / (2B) detik terpisah.
Teorema ini biasa disebut teorema sampling Nyquist, karena juga ditemukan secara independen oleh ET Whittaker, oleh Vladimir Kotelnikov, dan oleh orang lain, juga dikenal sebagai Nyquist-Shannon-Kotelnikov, Whittaker-Shannon-Kotelnikov, Whittaker-Nyquist-Kotelnikov -Shannon, WKS, dll, teorema sampling, serta Kardinal Teorema Interpolasi Teori. Hal ini sering disebut hanya sebagai teorema sampling.
Pada intinya, teorema menunjukkan bahwa sinyal analog bandlimited yang telah sampel bisa sangat direkonstruksi dari urutan tak terbatas sampel jika laju sampling sampel melebihi 2B per detik, dimana B adalah frekuensi tertinggi dalam sinyal asli. Jika sinyal berisi komponen tepat hertz B, maka sampel berjarak pada tepat 1 / (2B) detik tidak sepenuhnya menentukan sinyal, meskipun pernyataan Shannon. Kondisi ini cukup dapat menjadi lemah, seperti dibahas di Sampling sinyal non-baseband di bawah ini.
laporan lebih baru dari teorema kadang-kadang hati-hati untuk mengecualikan kondisi kesetaraan, yaitu kondisi ini jika x (t) tidak mengandung frekuensi lebih besar atau sama dengan B; kondisi ini setara dengan Shannon kecuali jika fungsi mencakup mantap sinusoidal komponen pada frekuensi tepat B.
Teorema ini mengasumsikan idealisasi dari setiap situasi dunia nyata, karena hanya berlaku untuk sinyal yang sampel untuk waktu yang tak terbatas, setiap waktu terbatas x (t) tidak bisa sempurna bandlimited. rekonstruksi Perfect matematis mungkin untuk model ideal tetapi hanya sebuah pendekatan untuk sinyal dunia nyata dan teknik sampling, meskipun dalam prakteknya sering yang sangat baik.
Teorema ini juga mengarah pada rumus untuk rekonstruksi sinyal asli. Bukti konstruktif dari teorema mengarah ke pemahaman tentang aliasing yang dapat terjadi ketika sistem pengambilan sampel tidak memenuhi kondisi teorema.
Teorema sampling menyediakan suatu kondisi yang cukup, namun tidak satu perlu, untuk rekonstruksi sempurna. Bidang dikompresi penginderaan menyediakan kondisi sampling ketat ketika sinyal yang mendasari diketahui jarang. Compressed penginderaan khusus menghasilkan kriteria sampling sub-Nyquist.

Isi
[Hide]

* 1 Pendahuluan

* 2 Proses sampling
* 3 Rekonstruksi
* 4 Praktis pertimbangan
* 5 Aliasing
* 6 Aplikasi untuk sinyal multivariabel dan gambar
* 7 downsampling
* Frekuensi 8 Kritis
* 9 Matematika dasar untuk teorema
* 10 Shannon asli bukti
* 11 Sampling sinyal non-baseband
* 12 seragam sampling
* 13 Beyond Nyquist
* 14 Latar belakang
o 14.1 Lainnya penemu
o Nyquist 14.2 Mengapa?
* 15 Lihat juga
* 16 Catatan
* 17 Referensi
* 18 Pranala luar

[Sunting] Pendahuluan
Sebuah sinyal atau fungsi yang bandlimited jika mengandung energi ada di frekuensi yang lebih tinggi daripada beberapa bandlimit atau bandwidth B. Sebuah sinyal yang bandlimited dibatasi dalam cara cepat berubah dalam waktu, dan karena itu berapa banyak detail yang dapat menyampaikan dalam interval waktu. Teorema sampling menegaskan bahwa sampel diskrit seragam spasi adalah representasi lengkap dari sinyal jika bandwidth ini kurang dari setengah laju sampling. Untuk merumuskan konsep-konsep ini, biarkan x (t) merupakan sinyal waktu kontinyu dan X (f) menjadi transformasi Fourier kontinu sinyal bahwa:
X (f) \ \ stackrel {\ mathrm {def }}{=} \ \ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) \ e ^ {- i 2 \ pi} ft \ dt \
Sinyal x (t) dikatakan bandlimited ke baseband bandwidth satu sisi, B, apabila:
X (f) = 0 \ quad untuk semua | {f} |> B \,
atau, sama, supp (X) [2] \ subseteq [-B, B]. Kemudian kondisi yang cukup untuk reconstructability tepat dari sampel pada tingkat fs seragam sampling (dalam sampel per satuan waktu) adalah:
f_s> 2 B, \,
atau ekuivalen:
B <{f_s \ over 2}. \,
2B disebut laju Nyquist dan merupakan properti dari sinyal bandlimited, sedangkan fs / 2 disebut frekuensi Nyquist dan merupakan properti dari sistem sampling.
Interval waktu antara sampel yang berurutan yang disebut sebagai interval sampling:
T \ \ stackrel {\ mathrm {def }}{=} \ \ frac {1} {f_s}, \,
dan sampel x (t) ditandai oleh:
x [n] = x (nT) \ n quad \ di \ mathbb {Z} \, (integer).
Teorema sampling mengarah ke prosedur untuk merekonstruksi asli x (t) dari sampel dan negara-negara yang cukup kondisi seperti rekonstruksi tepatnya.

[Sunting] Proses sampling

Teorema ini menjelaskan dua proses dalam pengolahan sinyal: proses sampling, di mana sinyal waktu kontinu dikonversi menjadi suatu sinyal waktu diskrit, dan proses rekonstruksi, di mana sinyal kontinyu asli pulih dari sinyal waktu diskrit.
Sinyal kontinyu bervariasi dari waktu ke waktu (atau ruang dalam gambar digital, atau lain variabel bebas dalam beberapa aplikasi lainnya) dan proses pengambilan sampel dilakukan dengan mengukur nilai sinyal kontinyu itu setiap unit T waktu (atau ruang), yang disebut sampling interval. Dalam prakteknya, untuk sinyal yang merupakan fungsi dari waktu, interval sampling biasanya cukup kecil, pada urutan milidetik, mikrodetik, atau kurang. Hal ini menghasilkan urutan angka, contoh disebut, untuk mewakili sinyal asli. Setiap nilai sampel dikaitkan dengan instan dalam waktu ketika diukur. Kebalikan dari sampling interval (1 / T) adalah frekuensi sampling fs dilambangkan, yang diukur dalam sampel per unit waktu. Jika T dinyatakan dalam detik, maka fs dinyatakan dalam Hz.

[Sunting] Rekonstruksi

Rekonstruksi dari sinyal asli adalah proses interpolasi yang matematis mendefinisikan sinyal kontinyu waktu x (t) dari sampel diskrit x [n] dan pada waktu di antara nT instants sampel.

Gbr.2: Fungsi sinc dinormalisasi: dosa (πx) / (πx) … menunjukkan puncak pusat di x = 0, dan nol-crossing pada nilai integer lain x.

* Prosedur: Setiap nilai sampel dikalikan dengan fungsi sinc skala sehingga zero-crossing dari fungsi sinc terjadi di instants sampling dan titik tengah fungsi sinc adalah bergeser ke waktu bahwa sampel, nT. Semua fungsi ini bergeser dan bersisik yang kemudian ditambahkan bersama-sama untuk memulihkan sinyal asli. Fungsi sinc skala dan waktu-bergeser kontinu membuat jumlah hasil ini, juga terus menerus sehingga operasi ini merupakan sinyal kontinyu. Prosedur ini diwakili oleh rumus interpolasi Whittaker-Shannon.
* Kondisi: Sinyal yang diperoleh dari proses rekonstruksi dapat memiliki frekuensi yang lebih tinggi dari satu-setengah frekuensi sampling. Menurut teorema ini, sinyal direkonstruksi akan cocok dengan sinyal asli dengan ketentuan bahwa sinyal asli tidak mengandung frekuensi pada atau di atas batas ini. Kondisi ini disebut kriteria Nyquist, atau kadang-kadang kondisi Raabe.
Jika sinyal asli berisi komponen frekuensi sama dengan satu-satu setengah sampling, kondisi tidak puas. Sinyal direkonstruksi yang dihasilkan mungkin memiliki komponen pada frekuensi itu, tetapi amplitudo dan fasa komponen yang umumnya tidak akan cocok dengan komponen asli.
Rekonstruksi ini atau interpolasi menggunakan fungsi sinc bukan skema interpolasi saja. Memang, tidak mungkin dalam prakteknya karena memerlukan menjumlahkan jumlah tak terbatas istilah. Namun, metode interpolasi yang dalam teori persis merekonstruksi apapun yang diberikan bandlimited x (t) dengan bandlimit B <1 / (2T); metode apapun lainnya yang melakukannya secara formal setara dengan itu.

[Sunting] Pertimbangan praktis

Sebuah beberapa konsekuensi dapat ditarik dari teorema ini:
* Jika B frekuensi tertinggi dalam sinyal asli diketahui, teorema memberi batas bawah pada frekuensi sampling yang sempurna rekonstruksi dapat terjamin. Hal ini lebih rendah terikat pada frekuensi sampling, 2B, disebut laju Nyquist.
* Jika bukan frekuensi sampling diketahui, teorema memberi kita batas atas untuk komponen frekuensi, <B fs / 2, dari sinyal untuk memungkinkan rekonstruksi yang sempurna. Ini batas atas adalah frekuensi Nyquist, dinotasikan FN.
* Kedua kasus ini menyiratkan bahwa sinyal yang akan sampel harus bandlimited, yaitu komponen dari sinyal yang memiliki frekuensi di atas batas tertentu harus nol, atau paling tidak cukup mendekati nol untuk memungkinkan kita untuk mengabaikan pengaruhnya pada rekonstruksi yang dihasilkan. Dalam kasus pertama, kondisi bandlimitation dari sinyal sampel dapat dilakukan dengan mengasumsikan model dari sinyal yang dapat dianalisis dalam komponen frekuensi yang dikandungnya, misalnya, suara yang dibuat oleh manusia berbicara biasanya mengandung sangat komponen frekuensi kecil pada atau di atas 10 kHz dan kemudian cukup untuk sampel seperti sinyal audio dengan frekuensi sampling minimal 20 kHz. Untuk kasus kedua, kita harus memastikan bahwa sinyal sampel adalah bandlimited sedemikian rupa sehingga komponen-komponen frekuensi pada atau di atas setengah dari frekuensi sampling dapat diabaikan. Hal ini biasanya dicapai dengan cara yang cocok low-pass filter, misalnya, jika diinginkan untuk pidato sampel waveforms pada 8 kHz, sinyal pertama harus lowpass disaring untuk di bawah 4 kHz.
* Dalam prakteknya, tak satu pun dari dua pernyataan dari teorema sampling dijelaskan di atas dapat benar-benar puas, dan tidak dapat rumus rekonstruksi secara tepat dilaksanakan. Proses rekonstruksi yang melibatkan skala dan fungsi sinc tertunda dapat digambarkan sebagai ideal. Hal ini tidak bisa diwujudkan dalam praktik karena mengandung arti bahwa setiap sampel kontribusi sinyal direkonstruksi di hampir semua titik waktu, membutuhkan penjumlahan jumlah tak terbatas istilah. Sebaliknya, beberapa jenis pendekatan fungsi sinc, hingga panjang, harus digunakan. Kesalahan yang sesuai dengan pendekatan sinc-fungsi ini disebut sebagai kesalahan interpolasi. Praktis konverter digital-ke-analog tidak menghasilkan skala dan fungsi sinc tertunda atau impuls ideal (yang jika idealnya low-pass filter akan menghasilkan sinyal asli), tetapi urutan pulsa segi empat skala dan tertunda. Output ini sesepenggal-konstan praktis dapat dimodelkan sebagai nol terus-orde filter didorong oleh impuls Dirac urutan skala dan tertunda sebagaimana dimaksud dalam bagian dasar matematika di bawah ini. Sebuah membentuk filter kadang-kadang digunakan setelah DAC dengan terus nol-untuk membuat pendekatan yang lebih baik secara keseluruhan.
* Selain itu, dalam prakteknya, sinyal tidak akan pernah sempurna bandlimited, karena ideal “dinding-bata” filter tidak dapat direalisasikan. Semua filter praktis hanya dapat menipiskan frekuensi di luar jangkauan tertentu, tidak menghapus mereka sepenuhnya. Selain ini, “waktu terbatas” sinyal tidak pernah bisa bandlimited. Ini berarti bahwa bahkan jika sebuah rekonstruksi yang ideal dapat dilakukan, sinyal direkonstruksi tidak akan persis sinyal asli. Kesalahan yang sesuai dengan kegagalan bandlimitation disebut sebagai aliasing.
* Teorema sampling tidak mengatakan apa yang terjadi bila kondisi dan prosedur yang tidak benar-benar dipenuhi, tetapi bukti yang menunjukkan kerangka analitis di mana non-hal idealistis dapat dipelajari. Seorang desainer dari sebuah sistem yang berhubungan dengan proses sampling dan rekonstruksi membutuhkan pemahaman menyeluruh dari sinyal yang akan sampel, dalam konten tertentu yang frekuensi, frekuensi sampling, bagaimana sinyal direkonstruksi dalam hal interpolasi, dan kebutuhan untuk rekonstruksi total kesalahan, termasuk aliasing, sampling, interpolasi dan kesalahan lainnya. Properti ini dan parameter mungkin perlu hati-hati disetel untuk mendapatkan sistem yang berguna.
[Sunting] Aliasing

Artikel utama: Aliasing

Rumus penjumlahan Poisson menunjukkan bahwa sampel, x [n] = x (nT), fungsi x (t) yang cukup untuk membuat penjumlahan periodik fungsi X (f). Hasilnya adalah:
X_s (f) \ \ stackrel {\ mathrm {def }}{=} \ sum_ {k =- \ infty} ^ {\ infty} X \ left (f - kanan f_s k \) = T \ sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} x (nT) \ e ^ {-i 2 \ pi} f T n.
(Eq.1)
Seperti digambarkan dalam Angka 3, 4, dan 8, salinan X (f) dialihkan dengan kelipatan fs dan dikombinasikan dengan penambahan.

Gbr.3: Hipotesis spektrum dari sinyal bandlimited benar sampel (biru) dan gambar (hijau) yang tidak tumpang tindih. Sebuah “bata-dinding” low-pass filter dapat menghapus gambar dan meninggalkan spektrum asli, sehingga memulihkan sinyal asli dari sampel.

Jika kondisi sampling tidak puas, salinan berdekatan tumpang tindih, dan tidak mungkin pada umumnya untuk melihat sebuah X tidak ambigu (f). Setiap komponen frekuensi di atas fs / 2 tidak dapat dibedakan dari komponen frekuensi rendah, yang disebut alias, terkait dengan salah satu salinan. Teknik rekonstruksi diuraikan di bawah ini menghasilkan alias, bukan komponen asli, dalam kasus tersebut.

Gbr.4 Top: spektrum Hipotesis dari sinyal bandlimited kurang sampel (biru), X (f), di mana gambar (hijau) tumpang tindih. Pinggiran ini tumpang tindih atau “ekor” tambahkan gambar, menciptakan spektrum tidak seperti aslinya. Bottom: Hipotesis spektrum sinyal bandlimited cukup sedikit sampel (biru), XA (f), di mana gambar (hijau) nyaris tidak tumpang tindih. Tetapi spektrum sampel keseluruhan XA (f) adalah identik dengan spektrum yang tidak cukup sampel keseluruhan X (f) (atas) karena jumlah baseband dan gambar yang sama pada kedua kasus. Para sampel diskrit sinyal xA [n] dan x [n] juga identik. Hal ini tidak mungkin, hanya dari memeriksa spektrum (atau sinyal sampel), kirim ke dua situasi yang terpisah. Jika ini sinyal audio, xA [n] dan x [n] akan terdengar sama dan dianggap “benar” sampel xA [n] akan menjadi alias dari x [n] sejak spektrum XA (f) menyamar sebagai spektrum X (f).

Untuk komponen sinusoidal yang persis setengah dari frekuensi sampling, komponen akan di alias umum untuk sinusoida lain dari frekuensi yang sama, tapi dengan fase yang berbeda dan amplitudo.
Untuk mencegah atau mengurangi aliasing, dua hal yang dapat dilakukan:
1. Meningkatkan laju sampling, di atas dua kali beberapa atau semua frekuensi yang aliasing.

2. Memperkenalkan anti-aliasing filter atau membuat filter anti-aliasing yang lebih ketat.

Anti-aliasing filter untuk membatasi bandwidth sinyal untuk memenuhi kondisi untuk pengambilan sampel yang tepat. Seperti pembatasan bekerja dalam teori, tetapi tidak tepat satisfiable dalam kenyataannya, karena filter realisasi selalu akan memungkinkan beberapa kebocoran frekuensi tinggi. Namun, kebocoran energi dapat dibuat cukup kecil sehingga efek aliasing diabaikan.

[Sunting] Aplikasi untuk sinyal multivariabel dan gambar
Gbr.5: image Subsampled menunjukkan pola moire
Gbr.6: Lihat gambar ukuran penuh

Teorema sampling biasanya dirumuskan untuk fungsi-fungsi dari variabel tunggal. Akibatnya, teorema secara langsung berlaku untuk sinyal waktu yang tergantung dan biasanya dirumuskan dalam konteks itu. Namun, teorema sampling dapat diperpanjang dengan cara yang mudah untuk fungsi banyak variabel sewenang-wenang. gambar Grayscale, misalnya, sering direpresentasikan sebagai array dua dimensi (atau matriks) dari bilangan real mewakili intensitas relatif dari piksel (elemen gambar) yang terletak di persimpangan lokasi sampel baris dan kolom. Akibatnya, gambar memerlukan dua variabel independen, atau indeks, untuk menentukan setiap pixel unik - satu untuk baris, dan satu untuk kolom.
Warna gambar biasanya terdiri dari gabungan dari tiga gambar grayscale terpisah, satu untuk mewakili masing-masing dari tiga warna utama - merah, hijau, dan biru, atau RGB untuk pendek. colorspaces lain menggunakan 3-vektor untuk warna termasuk HSV, LAB, XYZ, dll Beberapa colorspaces seperti cyan, magenta, kuning, dan hitam (CMYK) dapat mewakili warna dengan empat dimensi. Semua ini diperlakukan sebagai vektor-fungsi bernilai lebih dari satu domain sampel dua dimensi.
Mirip dengan sinyal diskrit-waktu satu dimensi, gambar juga bisa menderita aliasing jika resolusi sampling, atau kepadatan pixel, tidak memadai. Sebagai contoh, foto digital kemeja bergaris-garis dengan frekuensi tinggi (dengan kata lain, jarak antara garis-garis kecil), dapat menyebabkan aliasing dari kemeja ketika sampel dengan sensor gambar kamera. aliasing muncul sebagai sebuah pola moiré. The “solusi” untuk sampling yang lebih tinggi dalam domain spasial untuk kasus ini akan bergerak lebih dekat ke kemeja, gunakan sensor resolusi yang lebih tinggi, atau untuk optik mengaburkan gambar sebelum mengambilnya dengan sensor.
Contoh lain adalah ditunjukkan ke kiri dalam pola bata. Gambar atas menunjukkan efek ketika kondisi teorema sampling adalah tidak puas. Ketika software rescales gambar (proses yang sama yang menciptakan thumbnail ditampilkan pada gambar bawah) itu, pada dasarnya, berjalan gambar melalui low-pass downsamples pertama dan kemudian menyaring gambar untuk menghasilkan gambar yang lebih kecil yang tidak pameran moiré pola. Gambar atas adalah apa yang terjadi bila gambar downsampled tanpa low-pass filter: hasil aliasing.
Penerapan teorema sampling untuk gambar harus dilakukan dengan hati-hati. Sebagai contoh, proses sampling dalam sensor gambar standar (CCD atau kamera CMOS) relatif jauh dari sampling yang ideal yang akan mengukur intensitas citra pada satu titik. Sebaliknya perangkat ini memiliki area sensor relatif besar di setiap titik sampel untuk mendapatkan jumlah yang cukup cahaya. Dengan kata lain, setiap detektor memiliki fungsi-lebar hingga titik menyebar. Gambar analog fungsi intensitas optik yang sampel oleh perangkat sensor tidak bandlimited umum, dan pengambilan sampel non-ideal itu sendiri merupakan jenis yang berguna low-pass filter, meskipun tidak selalu cukup untuk menghapus frekuensi yang cukup tinggi untuk cukup mengurangi aliasing. Ketika daerah tempat pengambilan sampel (ukuran sensor pixel) tidak cukup besar untuk menyediakan cukup anti-aliasing, terpisah anti-aliasing filter (optical low-pass filter) biasanya disertakan pada sebuah sistem kamera untuk lebih mengaburkan optik gambar. Meskipun gambar yang memiliki masalah ini sehubungan dengan teorema sampling, teorema dapat digunakan untuk menjelaskan dasar-dasar bawah dan atas sampling gambar.

[Sunting] downsampling

Ketika sebuah sinyal downsampled, teorema sampling bisa dipanggil melalui kecerdasan dari resampling rekonstruksi kontinu-waktu hipotetis. Kriteria Nyquist masih harus puas berkenaan dengan frekuensi sampling baru yang lebih rendah untuk menghindari aliasing. Untuk memenuhi persyaratan teorema ini, sinyal biasanya harus melewati sebuah low-pass filter frekuensi cutoff yang tepat sebagai bagian dari operasi downsampling. Ini low-pass filter, yang mencegah aliasing, disebut anti-aliasing filter.

[Sunting] frekuensi Kritis
Gbr.7: Sebuah keluarga sinusoid pada frekuensi kritis, semua memiliki urutan sampel yang sama dari bolak +1 dan -1. Artinya, mereka semua alias satu sama lain, meskipun frekuensi mereka tidak di atas setengah kecepatan sampel.

Untuk menggambarkan pentingnya 2B fs>, mempertimbangkan sinusoid:
x (t) = \ cos (2 \ pi t B + \ theta) \ = \ \ cos (2 \ pi t B) \ cos (\ theta) - \ sin (2 \ pi t B) \ sin (\ theta ).
Dengan fs = 2B atau ekuivalen T = 1 / (2B), sampel diberikan oleh:
\ Begin {align} x (nT) & = \ cos (\ n pi) \ cos (\ theta) - \ underbrace {\ sin (\ n pi)} _ {0} \ sin (\ theta) = \ cos ( \ pi n) \ cos (\ theta). \ End {align}
Mereka sampel tidak dapat dibedakan dari sampel:
x_A (t) = \ cos (2 \ pi t B) \ cos (\ theta). \,
Tapi untuk θ apa pun seperti yang dosa (θ) ≠ 0, x (t) dan xA (t) memiliki amplitudo yang berbeda dan fase yang berbeda. Ini dan lainnya ambiguitas adalah alasan ketidaksetaraan ketat kondisi teorema sampling itu.

[Sunting] Matematika dasar untuk teorema
Gbr.8: Spektrum, Xs (f), dari sinyal bandlimited benar sampel (biru) dan gambar (hijau) yang tidak tumpang tindih. Sebuah “bata-dinding” low-pass filter, H (f), menghapus gambar, daun spektrum asli, X (f), dan sembuh sinyal asli dari sampel.

Dari Gambar 3 dan 8, jelas bahwa ketika tidak ada tumpang tindih dari salinan (alias “gambar”) X (f), k = 0 jangka waktu Xs (f) dapat dipulihkan dengan produk:
X (f) = H (f) X_s \ cdots (f), \, dimana:
H (f) = \ begin {kasus} 1 & | f | <B \ \ 0 & | f |> f_s - B. \ end {kasus}
H (f) tidak perlu didefinisikan secara tegas di daerah [B, fs-B], karena Xs (f) adalah nol di wilayah itu. Namun, kasus terburuk adalah ketika B = fs / 2, frekuensi Nyquist. Sebuah fungsi yang cukup untuk itu dan semua kasus berat kurang adalah:
H (f) = \ mathrm {rect} \ left (\ frac {f} {f_s} \ right) = \ begin {kasus} 1 & | f | <\ frac {f_s} {2} \ \ 0 & | f |> \ frac {f_s} {2}, \ end {kasus}
mana \ mathrm {rect} (u) \ adalah fungsi persegi panjang.
Oleh karena itu:
X (f) = \ mathrm {rect} \ left (\ frac {f} {f_s} \ right) \ X_s cdots (f) \
= \ Mathrm {rect} (Tf) \ cdots T \ sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} x (nT) \ e ^ {-i 2 \ pi T n f} (dari Eq.1, di atas ).

= T \ sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} x (nT) \ cdots \ mathrm {rect} (Tf) \ ^ e cdots {-i 2 \ pi} f T n.

Fungsi asli yang sampel dapat dipulihkan oleh transformasi Fourier balik:
x (t) = \ mathcal {F} ^ {-1} \ left \ {T \ sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} x (nT) \ cdots \ mathrm {rect} (Tf) \ cdots e ^ {-i 2 \ pi T n f} \ right \}
= T \ sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} x (nT) \ cdots \ underbrace {\ mathcal {F} ^ {-1} \ left \ {\ mathrm {rect} (Tf) \ cdots e -i ^ {2 \ pi T n f} \ right \}} _ {\ frac {1} {T} \ cdots \ mathrm {sinc} \ left (\ frac {t - nT} {T} \ right)} [3]

= \ Sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} x (nT) \ cdots \ mathrm {sinc} \ left (\ frac {t - nT} {T} \ right),

yang merupakan rumus interpolasi Whittaker-Shannon. Ini menunjukkan secara eksplisit bagaimana sampel, x (nT), dapat dikombinasikan untuk merekonstruksi x (t).
* Dari Gambar 8, jelas bahwa nilai-nilai yang lebih besar dari yang diperlukan fs (nilai yang lebih kecil T), yang disebut oversampling, tidak berpengaruh pada hasil rekonstruksi dan mendapatkan manfaat dari meninggalkan ruang untuk sebuah band transisi di mana H (f) bebas untuk mengambil nilai antara. Undersampling, yang menyebabkan aliasing, tidak secara umum operasi reversibel.

* Secara teoritis, formula interpolasi dapat diimplementasikan sebagai low pass filter, yang impuls respon \ mathrm {sinc} \ left (\ frac {t} {T} \ kanan) dan yang input \ sum_ {n =- \ infty } ^ {\ infty} x (nT) \ cdots \ delta (t - nT), yang merupakan sisir Dirac fungsi dimodulasi oleh sinyal sampel. Praktis konverter digital-ke-analog (DAC) menerapkan pendekatan seperti memegang orde nol. Dalam hal ini, oversampling dapat mengurangi kesalahan pendekatan.

[Sunting] bukti asli Shannon
Tanda bukti yang disajikan oleh Shannon yang elegan dan cukup singkat, namun kurang intuitif menawarkan wawasan ke dalam seluk-beluk aliasing, baik disengaja dan disengaja. Mengutip kertas asli Shannon, yang menggunakan f untuk fungsi, F untuk spektrum, dan W untuk membatasi bandwidth:
Pada bagian kiri adalah nilai dari f (t) pada titik-titik sampling. Integral di sebelah kanan akan diakui sebagai dasarnya koefisien n dalam ekspansi Fourier-series dari fungsi F (ω), mengambil-W interval untuk W sebagai periode mendasar. Ini berarti bahwa nilai-nilai sampel f (n / 2W) menentukan koefisien Fourier dalam ekspansi seri F (ω). Jadi mereka menentukan F (ω), karena F (ω) adalah nol untuk frekuensi lebih besar dari W, dan F frekuensi yang lebih rendah (ω) ditetapkan jika nya Fourier koefisien ditentukan. Tapi F (ω) menentukan fungsi semula f (t) sepenuhnya, karena fungsi ditentukan jika spektrum adalah diketahui. Oleh karena sampel asli menentukan fungsi f (t) sepenuhnya.
bukti dari teorema Shannon selesai pada titik itu, tapi dia melanjutkan dengan membahas rekonstruksi melalui fungsi sinc, apa yang sekarang kita sebut rumus interpolasi Whittaker-Shannon seperti dibahas di atas. Dia tidak berasal atau membuktikan sifat-sifat fungsi sinc, tetapi ini tentu sudah tidak asing untuk insinyur membaca karya-karyanya pada waktu itu, karena pasangan Fourier hubungan antara rect (fungsi persegi panjang) dan sinc dikenal. Penawaran Shannon:
Biarkan xn menjadi sampel n. Kemudian fungsi f (t) diwakili oleh:
f (t) = \ sum_ {n =- \ infty} ^ {\ infty} x_n {\ sin \ pi (2Wt-n) \ over \ pi (2Wt-n)}.
Seperti dalam bukti lain, keberadaan Transformasi Fourier dari sinyal asli diasumsikan, sehingga bukti tidak mengatakan apakah teorema sampling meluas ke bandlimited proses acak stasioner.

[Sunting] Sampling sinyal non-baseband

Seperti dijelaskan oleh Shannon: [1]
Sebuah hasil yang serupa benar jika band ini tidak dimulai dari nol frekuensi tetapi pada beberapa nilai yang lebih tinggi, dan dapat dibuktikan dengan terjemahan linier (sesuai secara fisik untuk modulasi single-sideband) dari kasus-frekuensi nol. Dalam hal ini pulsa dasar diperoleh dari dosa (x) / x oleh modulasi single-side-band.
Artinya, kondisi-rugi tidak cukup untuk sampling sinyal yang tidak memiliki komponen baseband ada yang melibatkan lebar interval frekuensi-nol bukan sebagai lawan komponen frekuensi tertinggi. Lihat Sampling (pengolahan sinyal) untuk rincian lebih lanjut dan contoh.
Sebuah kondisi bandpass adalah bahwa X (f) = 0, untuk nonnegatif semua f luar pita frekuensi terbuka:
\ Left (\ frac {N} 2f_ \ mathrm {s}, \ frac {N +1} 2f_ \ mathrm {s} \ right),
untuk beberapa bilangan bulat tak negatif N. Formulasi ini mencakup kondisi baseband normal sebagai kasus N = 0.
Fungsi interpolasi terkait respon impuls dari bandpass bata-dinding ideal filter (sebagai lawan dari lowpass bata-dinding ideal filter yang digunakan di atas) dengan celana pendek di tepi atas dan bawah dari band tertentu, yang merupakan perbedaan antara sepasang tanggapan impuls lowpass:
(N +1) \, \ operatorname {sinc} \ left (\ frac {(N +1) t} T \ right) - N \, \ operatorname {sinc} \ left (\ frac {Nt} T \ right) .
generalisasi lain, misalnya untuk sinyal menempati band non-contiguous beberapa, yang mungkin juga. Bahkan bentuk paling umum dari teorema sampling tidak memiliki provably berbicara benar. Artinya, orang tidak dapat menyimpulkan informasi yang harus hilang hanya karena kondisi teorema sampling tidak puas, dari segi teknis, bagaimanapun, umumnya aman untuk mengasumsikan bahwa jika teorema sampling tidak puas maka informasi kemungkinan besar akan hilang.

[Sunting] sampling seragam

Teori sampling Shannon dapat digeneralisasi untuk kasus sampel seragam, yaitu, sampel tidak diambil sama spasi pada waktunya. Shannon teori sampling bagi negara-negara sampling non-seragam yang sinyal-band terbatas dapat sempurna direkonstruksi dari sampel apabila laju sampling rata-rata memenuhi kondisi Nyquist [4]. Oleh karena itu, meskipun jarak seragam sampel dapat mengakibatkan algoritma rekonstruksi lebih mudah, itu bukan kondisi yang diperlukan untuk rekonstruksi sempurna.

[Sunting] Beyond Nyquist

Teorema sampling Nyquist-Shannon memberikan suatu kondisi yang cukup untuk pengambilan sampel dan rekonstruksi sinyal-band terbatas. Ketika rekonstruksi dilakukan melalui rumus interpolasi Whittaker-Shannon, kriteria Nyquist juga merupakan kondisi yang perlu untuk menghindari aliasing, dalam arti bahwa jika sampel yang diambil pada tingkat lebih lambat dari dua kali batas band, maka ada beberapa sinyal yang tidak akan secara benar direkonstruksi. Namun, jika pembatasan lebih lanjut dikenakan pada sinyal, maka kriteria Nyquist mungkin tidak lagi menjadi syarat mutlak.
Sebuah contoh non-trivial dari mengeksploitasi asumsi tambahan tentang sinyal yang diberikan oleh bidang baru-baru ini dikompresi penginderaan, yang memungkinkan untuk rekonstruksi penuh dengan tingkat sampling sub-Nyquist. Secara khusus, ini berlaku untuk sinyal yang jarang (atau kompresibel) dalam domain tertentu. Sebagai contoh, dikompresi penginderaan berhubungan dengan sinyal yang mungkin memiliki lebih rendah semua bandwidth (katakanlah, bandwidth efektif EB), namun komponen frekuensi tersebar di bandwidth B keseluruhan, daripada semua bersama-sama dalam sebuah band tunggal, sehingga bahwa teknik passband tidak berlaku. Dengan kata lain, spektrum frekuensi jarang. Secara tradisional, tingkat sampling yang diperlukan demikian B / 2. Menggunakan teknik penginderaan dikompresi, sinyal bisa sempurna direkonstruksi jika sampel pada tingkat yang sedikit lebih besar daripada EB / 2. Kelemahan dari pendekatan ini adalah rekonstruksi yang tidak lagi diberikan oleh formula, melainkan oleh solusi untuk program optimalisasi cembung yang membutuhkan metode baik belajar tetapi nonlinier.

[Sunting] Sejarah latar belakang

Teorema sampling tersirat oleh karya Harry Nyquist pada 1928 (”topik tertentu dalam teori telegram transmisi”), di mana ia menunjukkan bahwa hingga 2B sampel pulsa independen dapat dikirim melalui sistem bandwidth B, tetapi ia tidak secara eksplisit mempertimbangkan masalah sampling dan rekonstruksi sinyal kontinu. Tentang waktu yang sama, Karl Küpfmüller menunjukkan hasil yang serupa, [5] dan membahas respon sinc-fungsi impulse dari sebuah band-membatasi filter, melalui integral nya, respon Integralsinus langkah; bandlimiting ini dan rekonstruksi filter yang sangat penting bagi teorema sampling kadang-kadang disebut sebagai Küpfmüller filter (tapi jarang sehingga dalam bahasa Inggris).
Teorema sampling, pada dasarnya dual hasil Nyquist, adalah terbukti oleh Claude E. Shannon pada tahun 1949 (”Komunikasi di hadapan kebisingan”). Kotelnikov VA diterbitkan hasil yang sama pada tahun 1933 (”Di kapasitas transmisi dari ‘eter’ dan kabel dalam komunikasi listrik”, terjemahan dari Rusia), seperti yang dilakukan matematikawan ET Whittaker pada tahun 1915 (”Ekspansi dari Interpolasi-Teori”, “Theorie der Kardinalfunktionen”), JM Whittaker pada tahun 1935 (”Interpolatory fungsi teori”), dan Gabor pada tahun 1946 (”Teori komunikasi”).

[Sunting] penemu Lain

Orang lain yang secara independen menemukan atau memainkan peran dalam pengembangan teorema sampling telah dibahas dalam artikel beberapa sejarah, misalnya dengan Jerri [6] dan oleh Lukas [7] Sebagai contoh,. Poin Lukas bahwa H. Raabe, asisten untuk Küpfmüller, membuktikan teorema pada tahun 1939 gelar Ph.D. disertasi, kondisi Raabe istilah datang untuk dihubungkan dengan kriteria untuk representasi ambigu (sampling rate lebih besar dari dua kali bandwidth).
Meijering [8] menyebutkan beberapa penemu dan nama-nama dalam paragraf dan sepasang catatan kaki:
Seperti yang ditunjukkan oleh Higgins [135], teorema sampling harus benar-benar dipertimbangkan dalam dua bagian, seperti yang dilakukan di atas: pertama menyatakan fakta bahwa fungsi bandlimited sepenuhnya ditentukan oleh sampel tersebut, yang kedua menjelaskan bagaimana untuk merekonstruksi fungsi menggunakan nya sampel.
sumber ; wikipedia(shannon sampling theorem)
Diposkan oleh SUM412N0 di
Label: ,

No comments:

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)